Fai sciogliere 2 cucchiai di burro in una grande padella a fuoco medio. Metti i petti di pollo nella padella. Incorpora i peperoni poblano, i peperoncini jalapeno e l'aglio. Spremi il succo di mezzo lime sul pollo e metti la buccia e la polpa del lime nella padella. Copri e lascia sobbollire per 25 minuti, mescolando occasionalmente, fino a quando i succhi del pollo non risultano trasparenti. Togli dal fuoco, lascia raffreddare e taglia il pollo a cubetti.

Preriscalda il forno a 350°F (175°C).

Fai sciogliere 1/4 di tazza di burro in un tegame medio a fuoco basso. Incorpora gradualmente la farina e l'half-and-half. Aggiungi il coriandolo, i funghi, la panna acida e il succo dell'altra metà del lime. Cuoci e mescola per 10 minuti, fino a quando i funghi non saranno teneri.

Rivesti il fondo di una teglia da 9x13 pollici con 6 tortillas. Disponi metà del composto di pollo e peperoni sulle tortillas. Cospargi con 1 tazza di formaggio e copri con le restanti tortillas. Aggiungi il resto del composto di pollo e peperoni e versa uniformemente la salsa al coriandolo sopra la teglia. Completa con il formaggio rimanente.